Schätzung der Kontext-Transformationen

 

Die im letzten Abschnitt qualitativ beschriebenen Veränderungen aufgrund der Kontext- und Gedächtniseffekte sollen nun im Rahmen verschiedener Modelle quantitativ erfaßt werden: In diesem Abschnitt werden die Transformationen geschätzt, die die -Koordinaten der Einstellungen im selben und bei verändertem Kontext aufgrund der Koordinaten des betreffenden Standardreizes oder von dessen Gedächtnisfarbe vorhersagen. Dazu wird eine Schätzprozedur nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip eingesetzt, die auf einem modifizierten Programm von Kiener (1995) aufbaut. Neben Unabhängigkeit der Werte, die durch Randomisierung der Reihenfolge der Reizdarbietung gewährleistet werden soll, wird dabei eine Normalverteilung der Einstellungen der Versuchspersonen angenommen, die auf Seite  begründet wird. Für jede Versuchsperson erfolgt getrennt eine Schätzung der Parameter und der Likelihood für die folgenden vier Modelle zur Vorhersage des Erwartungswerts der Einstellungen aufgrund der -Koordinaten des Standardreizes (bzw. der Gedächtnisfarbe):

Unrestringiertes Modell: Dieses Modell macht keine spezifischen Annahmen über die Veränderung der Reizkoordinaten: Die Einstellungen werden einfach durch deren Zentroid vorhergesagt, das für jeden Standardreiz getrennt bestimmt wird. Zur Berechnung jedes Mittelwertsvektors sind drei Parameter erforderlich und für jede Varianz-Kovarianz-Matrix zu den vorgegebenen Reizen werden nochmals sechs Parameter benötigt, da es sich um symmetrische -Transformationsmatrizen handelt. Insgesamt werden beim unrestringierten Modell also für die zehn Reize Parameter geschätzt.

Lineares Modell: Hier werden drei Reize fest vorgegeben und es wird eine lineare -Transformationsmatrix geschätzt, die aus den gegebenen Reizkoordinaten die Koordinaten der Einstellungen der Versuchsperson möglichst genau vorhersagen soll. Dazu sind 9 Parameter für die Transformationsmatrix und Parameter für die Varianz-Kovarianz-Matrizen zu bestimmen, insgesamt also 69 Parameter.

Affines Modell: Aus vier vorgegebenen Reizen wird unter diesem Modell eine lineare Transformation der Daten mit anschließender Verschiebung geschätzt, so daß die Likelihood der Einstellungen für die einzelnen Reize bei Anwendung der geschätzten -Transformationsmatrix maximal wird. Hier sind 12 Parameter für die Transformationsmatrix und Parameter für die Varianz-Kovarianz-Matrizen zu bestimmen, insgesamt also 72 Parameter.

Projektives Modell: Für die projektive Transformation muß eine -Transformationsmatrix geschätzt werden, es handelt sich um eine Verschiebung mit Normierung. Hier sind 15 Parameter für die Transformationsmatrix und Parameter für die Varianz-Kovarianz-Matrizen zu bestimmen, insgesamt also 75 Parameter.

Die für diese Modelle erforderlichen Parameter werden durch ein von Kiener (1995) erstelltes und geringfügig modifiziertes Programm geschätzt, das dazu den nach Gegenfurtner (1992) implementierten iterativen PRAXIS-Algorithmus (Brent, 1973) einsetzt. Der Ablauf der Schätzprozedur kann auf verschiedene Weise so beeinflußt werden, daß bereits bei relativ wenigen (nämlich acht bis zwölf) Wiederholungen dieser Prozedur stabile und plausible Werte gefunden werden:

• Es kann festgelegt werden, welche Reize zum Initialisieren der Schätzprozedur verwendet werden: Als Ausgangspunkt dieser Prozedur dient eine Transformationsmatrix, die aus den Koordinaten der zur Initialisierung verwendeten Standardreize und den Mittelwerten der Koordinaten der dazugehörigen Einstellungen berechnet wird. Für die vorgegebene Veränderung dieser Initialisierungsreize wird dann die Transformationsmatrix so optimiert, daß dadurch die Reiz-Einstellungs-Übergänge für alle anderen Standardreize möglichst gut vorhergesagt werden.
• Die Schrittweite der Schätzprozedur läßt sich variieren: Je niedriger dieser Wert gesetzt wird, desto genauer kann ein Minimum der Likelihoodfunktion lokalisiert werden und desto höher ist auch der zur Berechnung notwendige Zeitaufwand. Wird dieser Parameter zu niedrig angesetzt (etwa kleiner als 0.3), dann besteht die Gefahr, daß bei Beendigung der Schätzprozedur nur ein lokales Minimum anstelle des globalen gefunden wird. Deshalb wird zuerst mit größerer Schrittweite (etwa 2) begonnen und dann überprüft, ob bei geringerer Schrittweite eine höhere maximale Likelihood gefunden wird.
• Das Abbruchkriterium des PRAXIS-Algorithmus legt fest, wie oft ein festgesetztes und von der Rechengenauigkeit abhängiges Toleranzkriterium unterschritten werden muß. Ein Wert von 4, den Gegenfurtner (1992) als sehr vorsichtiges und deshalb auf jeden Fall geeignetes Abbruchkriterium bezeichnet, wird hier verwendet.
• Schließlich kann auch angegeben werden, wie oft die Schätzprozedur wiederholt werden soll, wobei als Ausgangsmatrix für die n+1-te Schätzung die im n-ten Durchgang geschätzte Transformationsmatrix eingesetzt wird. Dieser Wert wird so gesetzt, daß bei den letzen Durchläufen der Schätzprozedur ein stabiles Niveau der maximalen Likelihood erreicht wird.

Der C-Quelltext des Schätzprogramms ist vom Autor dieser Arbeit so modifiziert, daß es sich problemlos zwischen verschiedensten Rechnerarchitekturen portieren läßt, und so compiliert, daß eine maximale Ausführungsgeschwindigkeit erzielt werden kann. Obwohl das Programm auf einer sehr schnellen Workstation vom Hersteller Silicon Graphics (ausgestattet mit acht MIPS R4400 Prozessoren mit 150 MHz Taktfrequenz und Coprozessoren sowie 768 MBytes Hauptspeicher) eingesetzt wird, werden für die Schätzprozedur teilweise sehr lange Zeiten benötigt: Für eine einzige Schätzung der Kontexteffekte bei einer Versuchsperson aus etwa 700 Meßwerten wird beispielsweise selbst von diesem Computer eine reine CPU-Zeit von über drei Stunden benötigt.

Das Programm zur Parameterschätzung wird mit einer Datendatei aufgerufen, in der für jeden Farbabgleich die xyL-Koordinaten des vorgegebenen Standardreizes und die xyL-Koordinaten der Einstellung der Versuchsperson stehen. Die daraus bestimmten Transformationsmatrizen, deren Likelihood für das lineare, das affine oder das projektive Modell maximiert ist, sind für alle Versuchspersonen in den Tabellen C.1 bis  C.12 im Anhang C angegeben. Es werden jeweils drei verschiedene Schätzungen dargestellt:

1. Schätzung der Transformation von den Standardreizen zu den Einstellungen im Ausgangskontext, also des Gedächtniseffekts.
2. Schätzung der Transformation von den Standardreizen im Ausgangskontext zu den Einstellungen im veränderten Kontext, also des gesamten Kontexteffekts;
3. Schätzung der Transformation von den mittleren Einstellungen zu einem Standardreiz im Ausgangskontext zu den Einstellungen im veränderten Kontext, also des bereinigten Kontexteffekts ohne Gedächtniseinfluß unter den auf Seite  beschriebenen Annahmen.

Nach der Bestimmung dieser Parameter werden mehrere Likelihood-Quotienten-Tests zum Vergleich der verschiedenen Modelle durchgeführt. Zunächst werden die drei geschätzten Modelle dem unrestingiertem-Modell gegenübergestellt, das als einzige Restriktion eine Normalverteilung der Daten um das Zentroid der Koordinaten der Einstellungen voraussetzt. Anschließend werden auch die drei genannten Modelle untereinander verglichen. Nullhypothese ist bei diesen Tests, daß sich je zwei miteinander verglichene Modelle nicht in ihrer Vorhersagegüte unterscheiden. In den Tabellen C.13 bis C.16 im Anhang C sind die Ergebnisse dieser Modelltests zu sehen. Beim Vergleich mit dem unrestringierten Modell zeigt sich, daß mit einer Ausnahme alle Ergebnisse signifikant sind, d.h. daß die strengeren Modelle die Daten schlechter vorhersagen als das unrestringierte Modell. Daraus folgt, daß weder das lineare noch das affine oder das projektive Modell gut zur Vorhersage der Einstellungen der Versuchspersonen geeignet sind.

Bei Vergleich mit dem unrestringierten Modell erweist sich nur einer der 36 Fälle (4 Versuchspersonen, 3 Modelle, 3 Arten von Effekten) als nicht signifikant: Nur bei Versuchsperson WES erklärt das projektive Modell die Daten genauso gut wie das unrestringierte ((15) = 18.46; p = 0.239), wenn die um die Gedächtniseffekte korrigierten Kontexteffekte betrachtet werden. Da aber nur einer von 36 Vergleichen zwischen dem projektiven und dem unrestringierten Modell ein nicht-signifikantes Ergebnis zeigt, darf diesem keine zu große Bedeutung beigemessen werden.

Beim Vergleich der restringierten Modelle untereinander ergeben sich ebenfalls nur bei Betrachtung der bereinigten Kontexteffekte nicht-signifikante Ergebnisse: Für Versuchsperson SCA erklärt in diesem Fall das affine Modell die Daten genauso gut wie das projektive ((3) = 2.84; p = 0.417). Bei den Versuchspersonen EIM ((3) = 5.8; p = 0.122) und WES ((3) = 4.84; p = 0.187) unterscheiden sich das lineare und das affine Modell nicht in ihrer Vorhersagegüte und bei der Versuchsperson EIM sind das affine ((3) = 4.48; p = 0.214) und das lineare ((6) = 10.28; p = 0.113) Modell genauso gut wie das projektive. Nur in wenigen Fällen - und nur bei Betrachtung der bereinigten Kontexteffekte - beschreiben lineare oder affine Modelle die Daten genauso gut wie projektive. Die Ergebnisse dieser Modelltests deuten also auf eine Überlegenheit des projektiven Modells hin.

Insgesamt ergeben diese Modelltests, daß sich wie auch in der Untersuchung von Kiener (1995) keines der Modelle gut zur Vorhersage des Verhaltens der Versuchspersonen eignet. Von den überprüften Modellen erklärt das projektive, das die meisten freien Parameter besitzt, die Daten noch am besten.

Last modified 10-29-98